Razavi 模集教材的習題 6.8(a)是不少人在第 6 章頻率響應部分遇到的第一道坎。這道題不是單純考記憶而是考你能不能把一個放大器的傳輸函數從等效電路里完整推出來并判斷它的極點和零點。下面我按最常見的共源級高頻分析版本把推導過程完整走一遍。如果你手邊教材里的 6.8(a) 電路和我這里不完全一樣也不要緊替換元件后整個分析流程照樣能用。這種題最大的價值是幫你建立一套“畫小信號模型 - 列節點方程 - 消元整理 - 檢驗極限 - 畫波特圖”的固定思路。一旦這個流程跑順后面 6.8(b)、6.9、6.10 都會輕松很多。1. 拿到 6.8(a) 以后先別急著列方程1.1 先確認題目考的是低頻響應還是高頻響應Razavi 教材第 6 章標題叫“頻率響應”但里面的習題并不是都要求你列全頻段的傳輸函數。有的題考低頻響應主要看耦合電容、旁路電容對增益的影響有的題考高頻響應主要看晶體管寄生電容 Cgs、Cgd、Cdb 的作用。6.8(a) 屬于哪一類取決于你手里的具體版本。我遇到的常見情況是它給的是一個共源放大器輸入源內阻 RS輸出端有負載電容節點上還有晶體管電容要求推導 Vout/Vin并畫出波特圖。這就是典型的高頻響應題目。判斷方法很簡單看題圖里把哪些電容看作大電容、哪些電容看作小電容。如果耦合電容和旁路電容畫得很大通常低頻時視為短路重點分析寄生電容如果題目只畫了 Cgs、Cgd、CL 這類小電容說明直接進入高頻分析。1.2 判斷電路拓撲屬于哪一類第 6 章的例題和習題里拓撲不外乎共源級、共柵級、源跟隨器、級聯結構。6.8(a) 如果只有一個晶體管通常就是共源級。共源級的特征是輸入加在柵極輸出取自漏極源極交流接地。如果源極串了一個電阻 R_S? 不注意這里輸入源內阻 RS 和源極電阻是兩回事。Razavi 題目里信號源一般不是理想電壓源會帶一個源內阻 RS這個電阻對輸入極點影響很大必須保留。如果源極還有電阻那屬于源極負反饋推導會更復雜但分析方法一樣。先判斷拓撲再畫等效電路否則很容易把節點方程寫錯。我見過不少人拿到題就開始套“密勒定理”結果題目要求精確傳輸函數密勒近似反而導致極點和零點個數都對不上。1.3 建立推導步驟清單做這類題我一般會按五步走畫出高頻小信號等效電路。在關鍵節點寫 KCL 方程。消去中間變量得到 Vout/Vin 的表達式。整理成標準形式提取直流增益、零點、極點。用低頻極限和高頻極限驗證結果再畫波特圖。不要跳過第一步直接寫公式。即使你記得共源級傳輸函數的最終形式也要學會自己推一遍因為 6.8(a) 后面的小問很可能讓你改條件。2. 小信號等效電路和三件最容易漏掉的事2.1 輸入源內阻 RS 必須畫進去否則輸入極點會丟很多同學畫等效電路時喜歡把輸入信號直接接到柵極認為 Vin 就等于 Vg。這在低頻題里問題不大但在頻率響應題里是錯誤的。信號源 Vin 通過源內阻 RS 接到柵極柵極節點對地還有 Cgs 和 Cgd 的等效電容。高頻時電容阻抗變小RS 和電容構成一個 RC 網絡會產生一個輸入極點。如果漏掉 RS這個極點就消失傳輸函數少一階答案自然不對。所以拿到 6.8(a)第一件事就是在輸入端把 RS 畫出來。即使題目里沒給 RS也通常會在圖里標一個要仔細看。2.2 Cgd 的處理方式直接決定零點是否存在在共源級中Cgd 跨接在柵極和漏極之間。它不僅是輸入電容的一部分還提供了一條從輸入到輸出的前饋通路。在高頻處Cgd 可以把信號直接從柵極耦合到漏極。這個耦合信號與晶體管 gm 產生的放大信號方向相反所以會在傳輸函數中產生一個右半平面零點。這個零點頻率大約是 gm / Cgd但更要緊的是它的相位貢獻是滯后的畫波特圖時不能當成普通零點處理。如果你用密勒定理把 Cgd 拆成輸入側和輸出側兩個電容那是近似做法。它會丟掉這個右半平面零點因為密勒等效只保留了大小不保留方向。在 6.8(a) 這種要求完整傳輸函數的題里除非題目明確說“用密勒近似”否則建議保留 Cgd 的跨接關系直接列節點方程。2.3 r_o 和體效應什么時候保留什么時候先去掉Razavi 教材里的小信號模型有多個版本只含 gm 的理想電流源、帶 r_o 的非理想電流源、考慮體效應 gmb 的完整模型。6.8(a) 到底用哪個模型要回看題目條件。如果題目沒有特別提到溝道長度調制或 lambda通?？梢韵群雎?r_o這樣推導簡單很多。如果題目明確要求考慮 r_o那輸出節點就要并一個 r_o公式會變長但流程不變。我的建議是第一遍推導先忽略 r_o 和 gmb把主體結果推出來。等主體公式沒問題再回頭加 r_o 作修正。否則一上來就滿屏符號很容易在代數化簡時出錯。3. 以最常見的共源級 6.8(a) 為例完整推導傳輸函數下面以這個典型電路為例輸入信號源 Vin源內阻 RSNMOS 共源級柵極有 Cgs柵漏之間有 Cgd漏極接電阻 RD 到電源輸出節點還有負載電容 CL源極交流接地暫時忽略 r_o 和體效應。這個結構在 Razavi 教材第 6 章里非常常見。如果 6.8(a) 的電路不是它你也可以照同樣的方法重推。3.1 先畫小信號等效電路再寫節點方程高頻等效電路里所有直流電源都置為交流地VDD 視為地。晶體管用壓控電流源 gm*Vgs 表示Vgs 就是柵極到源極的電壓在源極接地時Vgs Vg。這時有兩個獨立節點柵極節點 G 和漏極節點 D。源極是地。在節點 G流入節點的電流來自 RS 左側的 Vin流出節點的電流有兩條一條通過 Cgs 到地一條通過 Cgd 到漏極。寫 KCL(Vin - Vg) / RS s*Cgs*Vg s*Cgd*(Vg - Vout)注意Cgd 兩端的電壓是 Vg - Vout所以電流是 s*Cgd*(Vg - Vout)。方向是從柵極流向漏極。在節點 D流出節點的電流包括壓控電流源 gm*Vg電阻 RD 上的電流 Vout/RD電容 CL 上的電流 s*CL*Vout以及 Cgd 上的電流 s*Cgd*(Vout - Vg)。注意 Cgd 在漏極這一端看到的電壓是 Vout - Vg所以電流方向和柵極那端相反。寫 KCLgm*Vg Vout/RD s*CL*Vout s*Cgd*(Vout - Vg) 0這里把壓控電流源畫成了從漏極流出到源極所以 KCL 寫成流出電流代數和為零。如果你習慣用流入電流符號會全部反過來最終結果是一樣的但中間步驟更容易錯。3.2 消去 Vg得到 Vout/Vin從柵極節點方程可以解出 Vg(Vin - Vg) / RS s*(Cgs Cgd)*Vg - s*Cgd*Vout移項Vin / RS Vg / RS s*(Cgs Cgd)*Vg - s*Cgd*Vout所以Vg (Vin s*RS*Cgd*Vout) / (1 s*RS*(Cgs Cgd))從漏極節點方程解出 Vg 和 Vout 的關系gmb? 不用管gm*Vg Vout/RD s*CL*Vout s*Cgd*(Vout - Vg) 0整理(gm - s*Cgd)*Vg Vout*(1/RD s*CL s*Cgd) 0因此Vg - Vout * (1/RD s*(CL Cgd)) / (gm - s*Cgd)聯立兩個 Vg 表達式去掉 Vg得到(Vin s*RS*Cgd*Vout) / (1 s*RS*(Cgs Cgd)) - Vout * (1/RD s*(CL Cgd)) / (gm - s*Cgd)然后交叉相乘整理出Vout/Vin - gm*RD * (1 - s*Cgd/gm) / [ 1 s*A s^2*B ]其中A RS*(Cgs Cgd) RD*(CL Cgd) gm*RD*RS*Cgd B RS*RD*(Cgs*CL Cgs*Cgd Cgd*CL)這個結果就是典型共源級的高頻傳輸函數。3.3 檢查量綱和極限行為推導完成后先別急著畫波特圖做兩個快速檢查。第一個檢查是零頻極限。令 s 0分子變成 -gm*RD分母是 1所以 H(0) -gm*RD。這正好是共源級的中頻電壓增益符號為負說明輸入輸出反相。如果這里算出正號肯定是前面某個電流方向寫錯了。第二個檢查是高頻極限。令 s → ∞分子趨于 -gm*RD*(-s*Cgd/gm) RD*Cgd*s分母趨于 s^2*B所以 H(s) 趨于 RD*Cgd / (s*B)即隨頻率升高而下降最終趨于 0。這與實際電路在高頻時增益下降的直覺一致。還有一個檢查如果 Cgd 0分子變成 -gm*RD零點消失分母里 A RS*Cgs RD*CLB RS*RD*Cgs*CL。這說明電路退化成兩個獨立的一階 RC 環節分別是輸入節點 RS 與 Cgs、輸出節點 RD 與 CL。這個退化結果也符合物理預期。3.4 極點和零點的物理意義從傳輸函數可以看出分子有一個零點z1 gm / Cgd它位于 s 平面的右半平面所以叫右半平面零點。它來自 Cgd 的前饋通路頻率越高Cgd 阻抗越低信號越容易直接耦合到輸出抵消部分放大信號。分母是一個二階多項式所以有兩個極點。在大多數實際設計里兩個極點分離得比較遠可以近似求出主極點和次極點。主極點大約在p1 ≈ - 1 / [ RS*(Cgs Cgd) RD*(CL Cgd) gm*RD*RS*Cgd ]這個表達式里的每一項都有物理含義RS*(Cgs Cgd) 是輸入節點對地電容與源內阻形成的時間常數RD*(CL Cgd) 是輸出節點對地電容與漏極電阻形成的時間常數gm*RD*RS*Cgd 是密勒效應引起的等效輸入阻抗折算到輸入端后的附加時間常數也是三項里最容易忘記的。如果兩個極點不分離那就用二次方程直接求極點不要強行用主極點近似。Razavi 的習題里有時會特意讓兩個極點接近考查你能否正確處理二階系統。4. 驗證答案的三個實用技巧4.1 用低頻極限驗證直流增益前面已經說過s 0 時 H(0) 必須等于 -gm*RD。這是所有共源級推導必須滿足的基本條件。有的題目里 RD 不是純電阻可能是電阻并聯電容或者負載是電流鏡輸出阻抗也不同。但不管怎么變s0 時所有電容都開路電路退化成直流等效電路增益就由 gm 和漏極總阻抗決定。如果推導結果在零頻時不等于直流增益說明你在整理過程中丟項或符號寫錯。這個時候不要繼續往下畫波特圖回到節點方程重新檢查。4.2 用高頻極限檢查階數傳輸函數分子分母的階數之差決定了高頻衰減斜率。對于共源級分母是二階分子是一階所以高頻時增益按 -20dB/dec 衰減。如果推導出來的分母只有一階說明你漏掉了一個極點。常見原因是把 Cgd 直接當作密勒電容拆掉丟失了它在輸出節點上的貢獻。如果分子階數不對可能是 Cgd 前饋方向沒處理好。另一個技巧是把 Cgd0 代入看結果是否是兩個獨立的一階 RC 的乘積。如果是說明主體結構沒問題。4.3 與密勒近似的結果對比Razavi 在正文里經常用密勒近似分析共源級的高頻響應但習題里往往要求精確結果。你可以用兩種方法各自算一遍然后對比差別。密勒近似的做法是把 Cgd 等效為柵極到地的電容 Cgd*(1 gm*RD)同時忽略輸出端引入的 Cgd 影響。這樣會得到一個沒有零點的二階系統輸入極點頻率偏低而且完全看不到右半平面零點。精確結果與近似結果的差異在哪里精確結果有一個右半平面零點密勒近似沒有。精確結果的輸入極點時間常數里包含 gm*RD*RS*Cgd與密勒等效類似但精確結果的第二個極點也包含 Cgd 的影響。當 gm*RD 很大時密勒近似的主極點很接近精確結果但零點對相位的影響在高頻段不可忽視。如果題目要求畫波特圖一定要用精確結果標注零點否則相位曲線會差 45 度以上。5. 6.8(a) 解答中常見的錯誤和排查順序5.1 Cgd 電流方向寫反導致零點符號錯誤這是最高頻的錯誤。Cgd 跨接在柵極和漏極之間柵極一側的電流表達式是 s*Cgd*(Vg - Vout)漏極一側是 s*Cgd*(Vout - Vg)。兩個方向正好相反很多人在兩個節點分別寫方程時不自覺寫成同一個方向導致最終分子的零點跑到左半平面。檢查方法很簡單零點的表達式如果變成 -gm/Cgd或者符號不對就回頭看看 Cgd 電流方向。你可以用電流從高電位流向低電位這個物理直覺來判斷當 Vg 上升時Vout 因為是反相放大器而下降所以 Cgd 兩端電壓差增大電流方向應該從柵極流向漏極還是反向想清楚這個符號就不容易錯。5.2 漏掉 RS 或 RD導致極點缺失輸入源內阻 RS 如果被忽略輸入極點就消失漏極負載電阻 RD 如果被忽略輸出極點也消失。這兩種情況都會讓分母階數下降。如果題目里信號源標注為理想的也就是沒有 RS那輸入極點可能確實沒有但絕大多數高頻響應題一定有 RS否則輸入節點只有一個電容沒有電阻無法形成有限極點。5.3 整理多項式時丟失 s^2 項在聯立兩個節點方程后需要做一次交叉相乘和展開。這個過程很容易丟項尤其是 s^2 項。因為 s^2 項前面會有多個乘積比如 Cgs*CL、Cgs*Cgd、Cgd*CL少任何一個都不對。我常用的整理方法是先把兩個 Vg 表達式寫清楚再代入消元最后用“系數對比法”檢查。比如我們得到的分母二階項系數B RS*RD*(Cgs*CL Cgs*Cgd Cgd*CL)如果你展開后少了中間交叉項說明在 (CgsCgd)(CLCgd) 的展開中漏了 Cgs*Cgd 或 Cgd*CL。檢查時可以用一個簡單辦法令 Cgs CL 1nFCgd 0.5nF代入公式看數值是否符合展開結果。數值驗算比符號驗算更直觀。5.4 畫波特圖時右半平面零點處理錯誤普通的左半平面零點會引起增益上升相位超前右半平面零點同樣會讓增益上升但相位是滯后。很多人在畫 6.8(a) 的波特圖時把零點當成左半平面的來畫結果相位曲線完全錯掉。正確畫法是在零點頻率 fz gm / (2π*Cgd) 處幅頻曲線斜率增加 20dB/dec但相頻曲線繼續下降 45 度在十倍頻程后下降接近 90 度。也就是說這個零點不會像普通零點那樣把相位往回升而是讓相位更負。如果零點頻率遠高于第二個極點那波特圖上的零點可能出現在第二個極點之后最終斜率是 -20dB/dec但因為零點的作用在零點到第二個極點之間的區間斜率可能被拉平。畫圖前要把 fz、p1、p2 的相對大小先估算出來再決定轉折點的先后順序。5.5 如果推不出結果回到原始電路重新畫模型有些同學在推導中途卡住會選擇硬湊公式這不可取。我踩過幾次坑以后發現90% 的推導問題都出在等效電路本身畫錯了而不是代數運算能力不夠。這時候建議做一次“歸零檢查”把所以電容全部替換成開路看直流等效電路是否正確把 Cgd 設為 0看看是否退化成兩個獨立極點把輸出端短接到地看看前饋零點是否還存在。做完這三步基本能定位是模型問題、方程問題還是整理問題。最后說一點Razavi 教材的習題 6.8(a) 只是頻率響應章節的起點。它真正的意義不是讓你背下那個傳輸函數而是讓你熟練掌握“列節點方程 - 消元 - 整理 - 檢驗”這套流程。在這個流程里最值得花時間的不是最終公式而是每一步的物理判斷Cgd 為什么會產生右半平面零點RS 為什么會影響輸入極點輸出電容為什么直接決定第二個極點位置把這些想清楚后面再做源跟隨器、共柵級、Cascode 的習題會發現只是換了一個拓撲分析方法完全一致。如果你手里的 6.8(a) 電路和上面這個共源級不一樣建議不要急著找現成答案先按這套流程自己推一遍。推完以后再對比 Razavi 書上的參考解答你會比直接看答案收獲大得多。